בגרות 482 קיץ 2026 מועד א׳ – שאלה 3חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 25
בגרות 482 · קיץ 2026 מועד א׳ · שאלה 3
שיעור 25 – בגרות 482 קיץ 2026 מועד א׳ – שאלה 3
פרק 3 – 10 בגרויות 482: חקירת פונקציה טריגונומטרית (שאלה 3)
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
3סעיף ב – נקודות קיצון
4סעיף ג – סקיצה
5סעיף ד – גרף הנגזרת
6סעיף ה – שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 4(sin x)2 − 1 המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 1.5π .
א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .
ב. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
ד. איזה מבין הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ? נמק.
📄 נוסח השאלה · המשך
ה. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 0 ≤ x ≤ π .
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x
בנקודת חיתוך עם ציר ה־x מתקיים f(x) = 0 :
4(sin x)2 − 1 = 0
4(sin x)2 = 1
(sin x)2 = 14
מוציאים שורש – יש שתי אפשרויות, חיובית ושלילית:
sin x = 12
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x · המשך
sin x = 12
או
sin x = −12
המשוואה sin x = 12 – הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 :
x = π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x · המשך
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
המשוואה sin x = −12 – הזווית שהסינוס שלה −12 היא −π6 (זווית נגדית):
sin(−π6) = −sin π6 = −12
📐 זווית נגדית
x = −π6 + 2πk
x = π + π6 + 2πk = 7π6 + 2πk
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 1.5π , כלומר עד 3π2 = 9π6 :
📐 זווית נגדית
sin(−x) = −sin x
סעיף א – נקודות חיתוך עם ציר ה־x · המשך
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 1.5π , כלומר עד 3π2 = 9π6 :
עבור k = 0 :
x = π6 , x = 5π6 , x = 7π6
הפתרון −π6 שלילי, ועבור k = 1 מקבלים −π6 + 2π = 11π6 – גדול מ־9π6 . שאר הפתרונות עם k = 1 גדולים עוד יותר.
בנקודות חיתוך עם ציר ה־x שיעור ה־y הוא 0.
✅ פתרון סופי:
(π6 , 0)
(5π6 , 0)
(7π6 , 0)
(π6 , 0)
(5π6 , 0)
(7π6 , 0)
סעיף ב – נקודות קיצון
גוזרים. (sin x)2 היא חזקה של פונקציה, ולכן גוזרים לפי כלל השרשרת:
[(sin x)2]′ = 2sin x · cos x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
f′(x) = 4 · 2sin x · cos x
f′(x) = 8sin x · cos x
משווים את הנגזרת ל־0:
8sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
8sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
מכפלה – אחד הגורמים שווה 0:
📐 מכפלה שווה 0
sin x = 0
או
cos x = 0
sin x = 0 כאשר x = 0 , π , 2π , … . בתחום: x = 0 , x = π .
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
sin x = 0 כאשר x = 0 , π , 2π , … . בתחום: x = 0 , x = π .
cos x = 0 כאשר x = π2 , 3π2 , … . בתחום: x = π2 , x = 3π2 .
שתי נקודות הן קצות התחום (x = 0 ו־x = 3π2), ושתיים פנימיות.
קביעת סוג הנקודות – מציבים בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π4) = 8 · √22 · √22 = 4 > 0
f′(3π4) = 8 · √22 · (−√22) = −4 < 0
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
f′(3π4) = 8 · √22 · (−√22) = −4 < 0
f′(5π4) = 8 · (−√22) · (−√22) = 4 > 0
שיעורי ה־y – מציבים בפונקציה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 4(sin x)2 − 1
נציב x = 0 ו־x = π (שם sin x = 0):
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
נציב x = 0 ו־x = π (שם sin x = 0):
f(0) = 4(sin 0)2 − 1 = −1
f(π) = 4(sin π)2 − 1 = −1
נציב x = π2 (שם sin x = 1) ו־x = 3π2 (שם sin x = −1):
f(π2) = 4(sin π2)2 − 1
f(π2) = 4 · 12 − 1 = 3
סעיף ב – נקודות קיצון · המשך
f(π2) = 4 · 12 − 1 = 3
f(3π2) = 4(sin 3π2)2 − 1
f(3π2) = 4 · (−1)2 − 1 = 3
✅ פתרון סופי:
מינימום קצה (0 , −1)
מקסימום (π2 , 3)
מינימום (π , −1)
מקסימום קצה (3π2 , 3)
מינימום קצה (0 , −1)
מקסימום (π2 , 3)
מינימום (π , −1)
מקסימום קצה (3π2 , 3)
סעיף ג – סקיצה
מסמנים את נקודות הקיצון ואת נקודות החיתוך עם ציר ה־x , ומחברים לפי העלייה והירידה:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – גרף הנגזרת
מהסעיף הקודם אנחנו יודעים הרבה על f′(x) :
1. הנגזרת מתאפסת ב־x = 0 , x = π2 , x = π , x = 3π2 – כלומר גרף הנגזרת יוצא מראשית הצירים, חותך את ציר ה־x פעמיים באמצע ומסתיים על הציר.
2. לפי ציר הסימנים: f′(x) חיובית, אחר כך שלילית, ואז שוב חיובית – כלומר הגרף מתחיל מעל ציר ה־x .
3. כדי להשוות את הגבהים, נכתוב את הנגזרת כסינוס אחד בעזרת זהות הזווית הכפולה:
f′(x) = 4 · (2sin x · cos x)
סעיף ד – גרף הנגזרת · המשך
f′(x) = 4 · (2sin x · cos x)
f′(x) = 4sin(2x)
📐 סינוס של זווית כפולה
הערך הגדול ביותר של 4sin(2x) הוא 4 והקטן ביותר −4 – כלומר שני ה"הרים" ו"העמק" באותו גובה.
גרף I לא מתחיל בראשית הצירים. גרף IV מתחיל מתחת לציר ה־x . בגרף II ההרים נמוכים מהעמק. רק גרף III מתאים לשלוש התכונות.
✅ פתרון סופי: גרף III
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ה – שטח
לפי ציר הסימנים בסעיף ב: בתחום 0 < x < π2 הנגזרת חיובית (הגרף מעל ציר ה־x), ובתחום π2 < x < π היא שלילית (הגרף מתחת לציר). לכן מחשבים כל חלק בנפרד:
S = S1 + S2
📐 שטח בין גרף לציר x
כדי לחשב אינטגרל של f′ צריך פונקציה קדומה שלה – והיא f עצמה, כי הנגזרת של f היא f′ :
∫f′(x) dx = f(x) + C
📐 פונקציה קדומה
החלק הראשון, מ־0 עד π2 :
📐 שטח בין גרף לציר x
מעל הציר: S = ∫ f dx
מתחת לציר: S = −∫ f dx
מתחת לציר: S = −∫ f dx
📐 פונקציה קדומה
∫f′(x) dx = f(x) + C
סעיף ה – שטח · המשך
החלק הראשון, מ־0 עד π2 :
S1 = ∫0π2 f′(x) dx
S1 = f(π2) − f(0)
את הערכים מצאנו בסעיף ב: f(π2) = 3 , f(0) = −1 . נציב:
S1 = f(π2) − f(0)
S1 = 3 − (−1) = 4
סעיף ה – שטח · המשך
S1 = 3 − (−1) = 4
החלק השני, מ־π2 עד π (מתחת לציר, ולכן עם מינוס):
S2 = −∫π2π f′(x) dx
S2 = −[f(π) − f(π2)]
נציב f(π) = −1 , f(π2) = 3 :
S2 = −[f(π) − f(π2)]
סעיף ה – שטח · המשך
S2 = −[f(π) − f(π2)]
S2 = −[(−1) − 3] = 4
השטח כולו:
S = 4 + 4 = 8
✅ פתרון סופי: S = 8
📌 סיכום התשובות
סעיף א
(π6 , 0)
(5π6 , 0)
(7π6 , 0)
(5π6 , 0)
(7π6 , 0)
סעיף ב
מינ. קצה (0 , −1)
מקס. (π2 , 3)
מינ. (π , −1)
מקס. קצה (3π2 , 3)
מקס. (π2 , 3)
מינ. (π , −1)
מקס. קצה (3π2 , 3)
סעיף ג
סקיצה
סעיף ד
גרף III
סעיף ה
S = 8
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא